1. ホッジ分解の概要
ホッジ分解は、リーマン多様体 (M) 上の微分形式（またはベクトル場）を以下の3つの成分に分解する定理です：
Ωk(M)=dΩk−1(M)⊕δΩk+1(M)⊕Hk(M),\Omega^k(M) = d\Omega^{k-1}(M) \oplus \delta\Omega^{k+1}(M) \oplus \mathcal{H}^k(M),
\Omega^k(M) = d\Omega^{k-1}(M) \oplus \delta\Omega^{k+1}(M) \oplus \mathcal{H}^k(M),ここで：
-
Ωk(M)\Omega^k(M)
\Omega^k(M)：(M) 上の (k)-形式の空間。
-
dΩk−1(M)d\Omega^{k-1}(M)
d\Omega^{k-1}(M)：
(k−1)(k-1)(k-1)-形式の外微分（exact forms：正確形式）。
-
δΩk+1(M)\delta\Omega^{k+1}(M)
\delta\Omega^{k+1}(M)：
(k+1)(k+1)(k+1)-形式の余微分（coexact forms：余正確形式）。
-
Hk(M)\mathcal{H}^k(M)
\mathcal{H}^k(M)：調和形式の空間（
Δω=0\Delta \omega = 0\Delta \omega = 0, つまり
dω=0d\omega = 0d\omega = 0かつ
δω=0\delta\omega = 0\delta\omega = 0）。
直感的解釈：
-
任意の (k)-形式ω\omega
\omegaは、以下のように書ける：
ω=dα+δβ+h,\omega = d\alpha + \delta\beta + h,\omega = d\alpha + \delta\beta + h,ここでα\alpha\alphaは
(k−1)(k-1)(k-1)-形式、
β\beta\betaは
(k+1)(k+1)(k+1)-形式、(h) は調和形式。
-
この分解は直交分解であり、各成分はL2L^2
L^2ノルムに関して互いに直交。
ユークリッド空間
Rn\mathbb{R}^n
\mathbb{R}^nの場合：
-
3次元では、ベクトル場F\mathbf{F}
\mathbf{F}に対してヘルムホルツ分解（
F=∇ϕ+∇×A\mathbf{F} = \nabla \phi + \nabla \times \mathbf{A}\mathbf{F} = \nabla \phi + \nabla \times \mathbf{A}）がホッジ分解の特別な場合。
-
高次元では、ベクトル場を勾配場（∇ϕ\nabla \phi
\nabla \phi）、発散ゼロ場（一般化された「回転」成分）、および調和場（
∇⋅H=0,∇×H=0\nabla \cdot \mathbf{H} = 0, \nabla \times \mathbf{H} = 0\nabla \cdot \mathbf{H} = 0, \nabla \times \mathbf{H} = 0）に分解。
2. 数学的背景
ホッジ分解を理解するには、以下の概念が重要です：
(1) 微分形式と外微分
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(k)-形式は、多様体上の「ベクトル場の一般化」で、交代テンソルとして振る舞う。
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外微分d:Ωk(M)→Ωk+1(M)d: \Omega^k(M) \to \Omega^{k+1}(M)
d: \Omega^k(M) \to \Omega^{k+1}(M)は、微分形式の「勾配」や「回転」を一般化。
-
性質：d∘d=0d \circ d = 0
d \circ d = 0（例：
∇×(∇ϕ)=0\nabla \times (\nabla \phi) = 0\nabla \times (\nabla \phi) = 0の高次元版）。
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(2) 余微分
-
余微分δ:Ωk(M)→Ωk−1(M)\delta: \Omega^k(M) \to \Omega^{k-1}(M)
\delta: \Omega^k(M) \to \Omega^{k-1}(M)は、外微分の双対演算子。
-
リーマン計量 (g) を用いて定義され、δ=(−1)n(k+1)+1∗d∗\delta = (-1)^{n(k+1)+1} * d *
\delta = (-1)^{n(k+1)+1} * d *（ここで
∗**はホッジスター演算子）。
-
例：3次元でベクトル場F\mathbf{F}
\mathbf{F}に対し、
δF∼∇⋅F\delta \mathbf{F} \sim \nabla \cdot \mathbf{F}\delta \mathbf{F} \sim \nabla \cdot \mathbf{F}。
(3) ホッジラプラシアン
-
ホッジラプラシアンはΔ=dδ+δd\Delta = d\delta + \delta d
\Delta = d\delta + \delta dで定義。
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調和形式 (h) はΔh=0\Delta h = 0
\Delta h = 0を満たす（つまり、
dh=0,δh=0dh = 0, \delta h = 0dh = 0, \delta h = 0）。
-
ユークリッド空間では、Δ\Delta
\Deltaは通常のラプラシアン
∇2\nabla^2\nabla^2に還元。
(4)
L2L^2
L^2空間と直交性
-
ホッジ分解は、L2L^2
L^2ノルム（
⟨ω,η⟩=∫Mω∧∗η\langle \omega, \eta \rangle = \int_M \omega \wedge *\eta\langle \omega, \eta \rangle = \int_M \omega \wedge *\eta）において直交分解。
-
dαd\alpha
d\alpha,
δβ\delta\beta\delta\beta, (h) は互いに直交：
⟨dα,δβ⟩=0,⟨dα,h⟩=0,⟨δβ,h⟩=0.\langle d\alpha, \delta\beta \rangle = 0, \quad \langle d\alpha, h \rangle = 0, \quad \langle \delta\beta, h \rangle = 0.\langle d\alpha, \delta\beta \rangle = 0, \quad \langle d\alpha, h \rangle = 0, \quad \langle \delta\beta, h \rangle = 0.
3. ホッジ分解定理
定理（コンパクトリーマン多様体の場合）： コンパクトで向き付け可能なリーマン多様体 (M) 上の任意の (k)-形式
ω∈Ωk(M)\omega \in \Omega^k(M)
\omega \in \Omega^k(M)は、一意に次のように分解される：
ω=dα+δβ+h,\omega = d\alpha + \delta\beta + h,
\omega = d\alpha + \delta\beta + h,-
α∈Ωk−1(M)\alpha \in \Omega^{k-1}(M)
\alpha \in \Omega^{k-1}(M),
β∈Ωk+1(M)\beta \in \Omega^{k+1}(M)\beta \in \Omega^{k+1}(M),
h∈Hk(M)h \in \mathcal{H}^k(M)h \in \mathcal{H}^k(M)。
-
分解はL2L^2
L^2空間で直交。
非コンパクトの場合（例：
Rn\mathbb{R}^n
\mathbb{R}^n）：
-
Rn\mathbb{R}^n
\mathbb{R}^nでは、無限遠での減衰条件（例：
ω\omega\omegaが
L2L^2L^2やソボレフ空間に属する）を仮定。
-
調和成分Hk(Rn)\mathcal{H}^k(\mathbb{R}^n)
\mathcal{H}^k(\mathbb{R}^n)は、トポロジーによりゼロになる場合も（例：
Rn\mathbb{R}^n\mathbb{R}^nは単連結なので
H1(Rn)=0\mathcal{H}^1(\mathbb{R}^n) = 0\mathcal{H}^1(\mathbb{R}^n) = 0）。
4. 証明の概要
ホッジ分解の証明は、楕円型偏微分方程式の理論と函数解析に基づきます。以下は概要：
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ホッジラプラシアンの性質：
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Δ\Delta
\Deltaは自己共役で楕円型演算子。
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コンパクト多様体では、Δ\Delta
\Deltaのスペクトルは離散的で、固有値は非負。
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グリーン関数とポアソン方程式：
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ω\omega
\omegaの正確成分
dαd\alphad\alphaは、
Δα=δω\Delta \alpha = \delta \omega\Delta \alpha = \delta \omegaを解くことで得られる。
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余正確成分δβ\delta\beta
\delta\betaは、
Δβ=dω\Delta \beta = d\omega\Delta \beta = d\omegaを解く。
-
調和成分 (h) は、Δh=0\Delta h = 0
\Delta h = 0かつ
ω−dα−δβ\omega – d\alpha – \delta\beta\omega - d\alpha - \delta\betaから計算。
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-
直交性の保証：
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L2L^2
L^2内積を用いて、
dΩk−1d\Omega^{k-1}d\Omega^{k-1},
δΩk+1\delta\Omega^{k+1}\delta\Omega^{k+1},
Hk\mathcal{H}^k\mathcal{H}^kが直交する。
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コンパクト多様体では、Hk\mathcal{H}^k
\mathcal{H}^kの次元は有限で、ベッチ数（コホモロジー群の次元）に等しい。
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非コンパクトの場合：
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Rn\mathbb{R}^n
\mathbb{R}^nでは、グリーン関数やフーリエ解析を用いて分解を構築。
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適切な境界条件（例：減衰条件）で一意性を保証。
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5. ホッジ分解の具体例
(1)
R3\mathbb{R}^3
\mathbb{R}^3のベクトル場
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ベクトル場F\mathbf{F}
\mathbf{F}を
F=∇ϕ+∇×A\mathbf{F} = \nabla \phi + \nabla \times \mathbf{A}\mathbf{F} = \nabla \phi + \nabla \times \mathbf{A}に分解。
-
ここで：
-
ϕ\phi
\phiは
Δϕ=∇⋅F\Delta \phi = \nabla \cdot \mathbf{F}\Delta \phi = \nabla \cdot \mathbf{F}を解いて得られる。
-
A\mathbf{A}
\mathbf{A}は
ΔA=−∇×F\Delta \mathbf{A} = -\nabla \times \mathbf{F}\Delta \mathbf{A} = -\nabla \times \mathbf{F}を解き、
∇⋅A=0\nabla \cdot \mathbf{A} = 0\nabla \cdot \mathbf{A} = 0（Coulomb gauge）を課す。
-
-
調和成分はR3\mathbb{R}^3
\mathbb{R}^3では通常ゼロ（単連結で減衰条件を仮定）。
(2) 2次元トーラス
T2T^2
T^2-
トーラス上の1-形式ω\omega
\omegaを分解。
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H1(T2)≅R2\mathcal{H}^1(T^2) \cong \mathbb{R}^2
\mathcal{H}^1(T^2) \cong \mathbb{R}^2（トーラスの1次ベッチ数＝2）。
-
ω=dα+δβ+h\omega = d\alpha + \delta\beta + h
\omega = d\alpha + \delta\beta + h, ここで (h) はトーラスの非自明な1周期に対応する調和形式。
(3) 高次元
Rn\mathbb{R}^n
\mathbb{R}^n-
ベクトル場F:Rn→Rn\mathbf{F}: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n
\mathbf{F}: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^nを
F=∇ϕ+G\mathbf{F} = \nabla \phi + \mathbf{G}\mathbf{F} = \nabla \phi + \mathbf{G}（
∇⋅G=0\nabla \cdot \mathbf{G} = 0\nabla \cdot \mathbf{G} = 0）に分解。
-
ϕ\phi
\phiは
Δϕ=∇⋅F\Delta \phi = \nabla \cdot \mathbf{F}\Delta \phi = \nabla \cdot \mathbf{F}から、
G\mathbf{G}\mathbf{G}は残差として計算。
6. 応用例（詳細）
ホッジ分解は、前述の高次元応用（超弦理論、流体力学、データ解析など）の基盤です。以下に具体的な詳細を補足：
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超弦理論：
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10次元時空のゲージ場（例：2-形式 (B)-場）を分解。
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調和形式は、コンパクト化された次元（例：カラビ-ヤウ多様体）のコホモロジーに対応し、物理的自由度（例：粒子の種類）を決定。
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流体力学：
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高次元速度場v\mathbf{v}
\mathbf{v}を
v=∇ϕ+G\mathbf{v} = \nabla \phi + \mathbf{G}\mathbf{v} = \nabla \phi + \mathbf{G}に分解。
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ϕ\phi
\phiは圧力場、
G\mathbf{G}\mathbf{G}は渦成分に対応。
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数値シミュレーションで、Δϕ=∇⋅v\Delta \phi = \nabla \cdot \mathbf{v}
\Delta \phi = \nabla \cdot \mathbf{v}を解くことで圧力を計算。
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データ解析：
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高次元データ場（例：センサーデータ）を離散ホッジ分解で解析。
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例：グラフ上のベクトル場を分解し、勾配成分（大域的トレンド）と渦成分（局所的循環）を分離。
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電磁気学：
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高次元マクスウェル方程式の解を、ポテンシャル場（スカラー＋ベクトルポテンシャル）と調和成分に分解。
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例：5次元時空での電場解析。
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7. 注意点と拡張
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コンパクト性：
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コンパクト多様体では、Hk\mathcal{H}^k
\mathcal{H}^kの次元は有限でトポロジーに依存。
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非コンパクト（例：Rn\mathbb{R}^n
\mathbb{R}^n）では、境界条件が重要。
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非ユークリッド空間：
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曲がったリーマン多様体では、計量 (g) が分解に影響。
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例：ブラックホール時空でのホッジ分解。
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離散ホッジ分解：
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グラフやメッシュ上での離散版が、データサイエンスやコンピュータグラフィックスで使用。
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数値計算：
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有限要素法やスペクトル法でホッジ分解を実装。
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例：ポアソン方程式の高速解法（FFTやマルチグリッド法）。
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8. さらに知りたい場合
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具体的な計算手順：例：R4\mathbb{R}^4
\mathbb{R}^4でのベクトル場分解の数値計算。
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非ユークリッド空間：例：リーマン面やカラビ-ヤウ多様体でのホッジ分解。
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離散ホッジ分解：グラフ理論やデータ解析への応用。
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応用例の深掘り：例：超弦理論での調和形式の物理的意味。