P波とS波
変位ベクトルなどのベクトル場は、回転しないが発散する場と、発散しないが回転する場に分類することができる。これをヘルムホルツの定理という。ナビエの方程式
の両辺の発散を取ると、
となるので、
とおくと、
波動方程式を満たすことがわかる。これは膨張・収縮する波を表しており、膨張波または縦波と呼ばれている。s_Pは回転しないので、
が成り立っている。続いて、ナビエの方程式の両辺の回転を取ると、
となるので、
とおくと、
波動方程式が成立していることがわかる。この波を回転波または横波と呼ばれている。s_Sは発散しないので、
が成り立っている。
ここで、弾性体の両端に引っ張り応力を加えたときの話を思い出そう。応力τとひずみεの間には、
という関係がある。Eはヤング率だった。また、応力は2種類のラメ定数λ,μおよびポアソン比σを用いて、
と表すことができる。これらより、E,λ,μ,σの間には、
という関係があることがわかる。さらに、この状況ではy方向の応力が0だから、
より、
という関係があることが分かる。よって、2種類のラメ定数をヤング率とポアソン比を用いて書くと、
となる。これを使うと、P波とS波の速さの比が、
ポアソン比を用いて表されることが分かる。この式より、縦波のほうが横波よりも速いことが分かる。
地球を半無限弾性体と考えることができる。地中で生じた岩石の破壊（地震）によって生じた地震波には、初めに地表に達するP波と、P波に続いて到達するS波がある。P波が縦波、S波が横波であり、P波の速さは約6.5km/s、S波の速さは約4km/sだから、このときポアソン比は約0.2となる。これは岩石の測定値とほぼ等しい。